Bài toán thuộc dạng này có tính chất thực tiễn và thường vận dụng công thức lãi đơn và lãi kép có trong SGK. Tuỳ thuộc vào mức độ vận dụng công thức như thế nào mà bài toán có thể được xếp vào mức độ "vận dụng" hoặc "vận dụng cao".
Ví dụ 2.15. (Câu 21, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
A. \[m=\frac{100.{{(1,01)}^{3}}}{3}\] (triệu đồng)
B. \[m=\frac{{{(1,01)}^{3}}}{{{(1,01)}^{3}}-1}\] (triệu đồng)
C. \[m=\frac{100.1,03}{3}\] (triệu đồng)
D. \[m=\frac{120.{{(1,12)}^{3}}}{{{(1,12)}^{3}}-1}\] (triệu đồng)
Phân tích: Bài toán trong ví dụ này muốn đưa ra một ứng dụng của Toán học để giải quyết một tình huống thực tế. Do đó, trước hết chúng ta cần hiểu những khái niệm thực tế được đề cập đến trong bài toán, như "vay ngắn hạn" hay "lãi suất"...
Trong thực tế, "vay ngắn hạn" là loại hình ngân hàng cho vay có thời hạn đến 12 tháng và được sử dụng để bù đắp thiếu hụt vốn lưu động của các doanh nghiệp và các nhu cầu chi tiêu ngắn hạn của cá nhân.
Trong bài toán, "lãi suất" được tính theo năm, nhưng thực tế thì loại hình "vay ngắn hạn" lại tính lãi suất theo tháng, bởi vậy cần đổi "lãi suất năm" ra "lãi suất tháng": lãi suất 1 tháng được tính bằng lãi suất 1 năm chia cho 12. Cứ sau 1 tháng, ngân hàng sẽ tính lãi suất 1 lần để cộng tiền lãi phát sinh vào số dư nợ tại thời điểm đó.
Hướng dẫn giải
Lãi suất một tháng đối với khoản vay của ông A là 12%:12 = 1% = 0,01.
Nếu m là số tiền mỗi tháng ông A trả cho ngân hàng thì sau lần trả thứ nhất, số dư nợ của ông A là:
(100 + 100 x 0,01) – m = 100 x 1,01 - m (triệu đồng)
Số dư nợ của ông A sau lần trả thứ hai là
[(100 x 1,01- m) + (100 x 1,01– m) x 0,01] - m
= 100 x (1,01)2 – m x (1,01+1) (triệu đồng)
Sau lần trả thứ ba thì ông A trả hết tiền nợ, tức là số dư nợ của ông A là 0 nên ta có:
0 = [(100 x (1,01)2 – m x (1,01+1)) + (100 x (1,01)2 – m x (1,01+1)) x 0,01) - m
= 100 x (1,01)3 – m x [(1,01)2 + (1,01) + 1) = 100 x (1,01)3 – m x \[\frac{{{(1,01)}^{3}}-1}{(1,01)-1}\] (triệu đồng)
Từ đó ta có
\[m=\frac{100\times {{(1,01)}^{3}}\times [(1,01)-1]}{{{(1,01)}^{3}}-1}=\frac{100\times {{(1,01)}^{3}}\times 0,01}{{{(1,01)}^{3}}-1}=\frac{{{(1,01)}^{3}}}{{{(1,01)}^{3}}-1}\] (triệu đồng)
Vậy B là phương án đúng.
Nhận xét: Để giải bài toán này cần vận dụng và kết hợp các kiến thức Toán học cùng với yêu cầu thực tế. Từ đó đưa ra áp dụng Toán học cho bài toán thực tế. Do đó, bài toán trong ví dụ này được xếp ở mức độ "vận dụng cao".
Ví dụ 2.16. Ngày tốt nghiệp, một sinh viên nam tiết kiệm được 20 triệu đồng từ tiền dạy gia sư khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Anh ta muốn gửi tiết kiệm số tiền này, với hình thức lãi suất kép, để mua một chiếc xe máy giá 30 triệu đồng. Giả sử tại thời điểm gửi tiết kiệm, lãi suất gửi tiết kiệm là 0,75%/năm và không thay đổi cho tới khi anh ta rút tiền. Nếu giá của xe máy mà anh sinh viên muốn mua không thay đổi thì sau ít nhất bao nhiêu năm, tính từ thời điểm gửi tiết kiệm, anh sinh viên sẽ đủ tiền mua xe?
A. 5 (năm) B. 6 (năm) C. 7 (năm) D. 8 (năm)
Phân tích: "Lãi suất kép” được đề cập đến trong ví dụ này là một khái niệm quen thuộc của lĩnh vực tài chính, ngân hàng được nhiều người biết đến như là công thức của sự giàu có. Thậm chí, Albert Eistein còn ví lãi suất kép như là kì quan thứ 8 trong thế giới này.
Công thức tính "lãi suất kép” đã được đề cập đến trong SGK như sau: gọi FV là số tiền (cả gốc lẫn lãi) nhận được sau n năm (\[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]) gửi tiết kiệm với hình thức lãi suất kép. Nếu PV là số tiền gửi và i là lãi suất thì chúng ta có công thức:
FV = PV x (1+i)n.
Từ đó, chúng ta có hai cách để giải bài toán này như sau:
+ Cách 1: Tìm n nhỏ nhất để \[PV\times {{(1+i)}^{n}}\ge 30\]. Từ đó đưa ra phương án đúng.
+ Cách 2: Thay lần lượt từng giá trị n trong các phương án A, B, C, D vào công thức tính lãi suất kép để tìm ra phương án đúng.
Hướng dẫn giải
+ Cách 1: Giải bất phương trình
\[20\times {{(1+0,075)}^{n}}\ge 30\Leftrightarrow {{(1,075)}^{n}}\ge 1,5\Leftrightarrow n\ge {{\log }_{1,075}}(1,5)=5,6\]
Suy ra số năm gửi ít nhất là 6, Do đó, B là phương án đúng.
+ Cách 2: Thay lần lượt các giá trị n ở các phương án A, B, C, D chúng ta có
\[n=5\Rightarrow 20\times {{(1+0,075)}^{5}}=28,71\] (triệu đồng)
\[n=6\Rightarrow 20\times {{(1+0,075)}^{6}}=30,87\] (triệu đồng)
Vậy, phương án đúng là B.
Nhận xét: Để giải bài toán này cần hiểu được ý nghĩa thực tế của "lãi suất kép" kết hợp với nhớ và vận dụng công thức toán học để đưa ra lời giải đúng. Tuy nhiên, độ phức tạp trong áp dụng công thức (cách 2) và biến đổi giải bất phương trình (cách 1) là tương đối đơn giản nên có thể xếp ở mức độ "thông hiểu".