Ví dụ 1.12. (Câu 2, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Cho hàm số \[y=f(x)\] có \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1\] và \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-1\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = -1.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = -1.
Hướng dẫn giải
Ta có lim \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1\Rightarrow y=1\] là một đường tiệm cận ngang.
lim \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-1\Rightarrow y=-1\] là một đường tiệm cận ngang.
Do đó ta chọn phương án C.
Nhận xét: Đây là câu hỏi ở cấp độ nhận biết, kiểm tra việc hiểu định nghĩa tiệm cận ngang.
Ví dụ 1.13. (Câu 9, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \[y=\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}\] có hai tiệm cận ngang
A. Không có giá trị thực nào của tham số m thoả mãn yêu cầu đề bài
B. m < 0.
C. m = 0.
D. m > 0.
Hướng dẫn giải
Loại bỏ phương án C.
Với m < 0, dễ thấy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Với m > 0, ta có \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{m}}\] là một tiệm cận ngang.
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=-\frac{1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{m}}\] là một tiệm cận ngang.
Do đó để đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang thì m > 0. Ta chọn phương án D.
Ta có nhận xét: Đồ thị có hai tiệm cận ngang nên phải tồn tại hai giới hạn \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y\] và \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y\] khác nhau và hàm số xác định trên khoảng \[(-\infty ;+\infty )\]. Do đó: \[m{{x}^{2}}+1>0\] \[\forall x\] nên ta loại bỏ được phương án B.
Theo cách 1 ta đã loại bỏ được phương án C.
Vậy phương án đúng có thể là A hoặc D.
Với phương án D, ta chọn giá trị m = 1 khi đó \[y=\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.\]
Ta dùng máy tính cầm tay để tính giới hạn hàm số \[y=\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\] tại \[+\infty \] và \[-\infty \] như sau:
Ta nhập \[\frac{X+1}{\sqrt{{{X}^{2}}+1}}\] rồi ấn CALC, sau đó máy tính hiện X?
Để tính giới hạn tại \[+\infty \] chọn một giá trị X rất lớn, chẳng hạn như \[X={{10}^{9}}\] ta được \[y\approx 1\]. Suy ra \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=1\Rightarrow y=1\] là một tiệm cận ngang.
Để tính giới hạn tại \[-\infty \] ta chọn một giá trị X rất nhỏ, chẳng hạn như \[X=-{{10}^{9}}\] ta được \[y\approx -1\]. Suy ra \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-1\Rightarrow y=-1\] là một tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang và phương án D là phương án đúng.
Ví dụ 1.14. Cho hàm số \[y=\frac{-x+1}{x-2}\] có đồ thị là (C). Lấy điểm M bất kì thuộc (C), khi đó tích khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của (C) là:
A 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Gọi \[{{d}_{1}}\],\[{{d}_{2}}\] là khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Ta có \[{{d}_{1}}.{{d}_{2}}=\left| {{x}_{0}}-2 \right|.\left| \frac{-1}{x{}_{0}-2} \right|=1\]. Vậy A là phương án đúng.