ĐỀ 10
Câu 1. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $f'(x)<0, \forall x \in (a;b)$ thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng (a;b).
B. Nếu $f'(x)\geq 0, \forall x \in (a;b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (a;b).
C. Nếu $f'(x)\leq 0, \forall x \in (a;b)$ thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng (a;b).
D. Nếu $f'(x)< 0, \forall x \in (a;b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (a;b).
Câu 2. Cho hàm số $y=x^{4}+4x^{2}+2017$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu.
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
D. Hàm số có cả cực đại và cực tiểu.
Câu 3. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{-x-1}$ có phương trình là:
A. x = -2.
B. x = 1.
C. x = $-\frac{1}{2}$.
D. x = -1.
Câu 4. Cho đồ thị (C) của hàm số $y=-x^{3}+3x-3$. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = -1.
B. Đồ thị (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt.
C. Đồ thị (C) nhận điểm I(0;-3) làm tâm đối xứng.
D. Đồ thị (C) cắt trục Oy tại một điểm.
Câu 5. Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị hàm số $y=\frac{x^{2}+m}{x-1},m\neq-1,$ tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7?
A. m = -2.
B. m = 0.
C. m = 2.
D. m = 1.
Câu 6. Tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y=x^{3}-mx^{2}+3x-1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:
A. $-3\leq m\leq 3$.
B. m > 3 hoặc m < -3.
C. -3 < m < 3.
D. m = 3 hoặc m = -3.
Câu 7. Để hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+ax+2017$ đạt cực tiểu tại x = 2 thì điều kiện của a là:
A. a < 0.
B. a > 0.
C. a = 0.
D. $a\neq 0$.
Câu 8. Điểm cố định M mà mọi đồ thị hàm số $y=x^{3}-(m+2)x^{2}+(m+3)x+1+2m$ luôn đi qua với mọi giá trị của tham số thực m là:
A. M (-1;–5).
B. M (2;-7).
C. M (0:1).
D. M (-1;5).
Câu 9. Giả sử hai số thực m,n thoả mãn hàm số $f(x)=\frac{x^{2}+(m-1)x-m+n}{x-1}$ đạt cực đại tại điểm x = -2 và $f(-2)=-\frac{1}{3}$ Giá trị của m + n bằng:
A. $\frac{17}{3}$
B. 3.
C. $\frac{41}{3}$
D. 1.
Câu 10. Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng một parabol bậc hai (như hình 1) và được mô phỏng trong hệ trục toạ độ (như hình 2) với mặt đất là trục hoành. Người ta cần làm một cánh cổng để đóng kín cổng Parabol lại, diện tích của cánh cổng là:
.png)
A. $\frac{25}{3}$ (dvdt).
B. $\frac{32}{3}$ (dvdt).
C. 32 (dvdt).
D. 30 (dvdt).
Câu 11. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{2}-2x-4\sqrt{(3-x)(x+1)}=3-m$ có nghiệm là:
A. {0;12}. B. [12; +$\infty$). C. (-$\infty$;0]. D. [0;12].
Câu 12. Giá trị của $log_{4}\sqrt[4]{32}$ là:
A. $\frac{5}{8}$.
B. 2.
C. $\frac{3}{8}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Câu 13. Đạo hàm của hàm số f(x) = xlnx - x bằng:
A. $f'(x)=lnx.$
B. $f'(x)=\frac{1}{x}+1.$
C. $f'(x)=lnx-1.$
D. $f'(x)=lnx+x.$
Câu 14. Cho hàm số $y=x^{\frac{\pi}{8}}$. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Hàm số luôn luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định.
C. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(1;1).
D. Tập xác định D = $[0;+\infty).$
Câu 15. Tập xác định của hàm số $y=(9^{x}-27)^{-2}$ là:
A. $(\frac{3}{2};+\infty)$
B. $\mathbb{R}$ \ {$\frac{3}{2}$}.
C. $\mathbb{R}.$
D. $(-\infty;\frac{3}{2})$.
Câu 16. Cho hàm số $f(x)=\frac{lnx}{x}.$ Nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là:
A. $\frac{1}{e}$.
B. 1.
C. e.
D. $\frac{1}{e^{2}}$.
Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình $log_{\frac{1}{2}}[log_{4}(x^{2}-9)]>-1$ là:
A. $(-5;-\sqrt{13})\cup (\sqrt{13};5).$
B. $S=(-5;-3)\cup (3;5).$
C. $S=(\sqrt{10};5).$
D. $S=(-5;-\sqrt{10})\cup (\sqrt{10};5).$
Câu 18. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $e^{x+1}=\frac{1}{2}x^{2}+x+1$ là:
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 19. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3^{x-1}+3^{3-x}$ bằng:
A. 3.
B. 6.
C. 9.
D. 2.
Câu 20. Giá trị của tham số thực m để phương trình $2^{2x-1}-m.2^{x}+m=0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn $x_{1}+ x_{2}=3$ là:
A. m = 3. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 4.
Câu 21. Cho biết công thức ước tính dân số là S = A.$e^{ni}$ trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Đầu năm 2003, Việt Nam có 80,9 triệu người, cuối năm 2015 dân số Việt Nam là 93,5 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là 1,47% hàng năm, phát biểu nào sau đây là đúng về dân số Việt Nam vào cuối năm 2015?
A. Ít hơn thực tế khoảng 3,0 triệu người.
B. Ít hơn thực tế khoảng 4,4 triệu người.
C. Lớn hơn thực tế khoảng 3,0 triệu người.
D. Lớn hơn thực tế khoảng 4,4 triệu người.
Câu 22. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a;b) nếu:
A. $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in [a;b).$
B. $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in (a;b)$ và $F'(a^{+})=f(a)$.
C. $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in (a;b)$ và $F'(a^{-})=f(a)$.
D. $f'(x)=F(x)$ với mọi $x\in (a;b)$.
Câu 23. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị x = a, x = b, y = f(x) và y = 0. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào sau đây?
A. $\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx.$
B. $\pi \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx.$
C. $\pi \int_{a}^{b}f(x)dx.$
D. $\pi^{2} \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx.$
Câu 24. Cho ba phát biểu sau:
1. $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$
2. $(\int f(x)dx)'=f(x)+C.$
3. $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx, \forall k \in \mathbb{R}$
Số phát biểu đúng là:
A. 0. B.2. C.3. D. 1.
Câu 25. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y^{2}=ax$( a > 0) và đường thẳng x = a bằng $ka^{2}$. Giá trị của k là:
A. $k=\frac{4}{3}.$
B. $k=\frac{3}{4}.$
C. $k=\frac{2}{3}.$
D. $k=\frac{3}{2}.$
Câu 26. Cho a là hằng số dương, khi đó $\int_{0}^{a}\frac{2}{\sqrt{4a^{2}-x^{2}}}dx$ bằng
A. $\frac{a\pi}{3}.$
B. $\frac{2\pi}{3}.$
C. $\frac{\pi}{3}.$
D. $\frac{-a\pi}{3}.$
Câu 27. Cho hàm số f liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(x)+f(-x)=x^{2}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Giá trị $I=\int_{-1}^{1}f(x)dx$ là:
A. I = 0.
B. $I=\frac{2}{3}.$
C. $I=\frac{4}{3}.$
D. $I=\frac{1}{3}.$
Câu 28. Giả sử h'(t) là tốc độ tăng trưởng chiều cao của một loại cây mỗi năm, tính bằng mét trên năm. Khi đó $\int_{0}^{5}h'(t)dt$ biểu thị điều gì sau đây?
A. Tổng số mét chiều cao tăng lên của cây trong 5 năm đầu tiên.
B. Chiều cao của cây trong 5 năm đầu tiên.
C. Tổng số mét chiều cao tăng lên của cây trong 5 năm bất kì.
D. Tốc độ tăng trưởng của cây trong 5 năm đầu tiên.
Câu 29. Các nghiệm của phương trình $z^{2}+2z+2=0$ trên tập số phức là:
A. $z_{1}=1-2i, z_{2}=1+2i.$
B. $z_{1}=1-i, z_{2}=1+i.$
C. $z_{1}=-1-2i, z_{2}=-1+2i.$
D. $z_{1}=-1-i, z_{2}=-1+i.$
Câu 30. Cho số phức z = a - bi khác 0. Phần ảo của số phức z$^{-1}$ là:
A. $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.$
B. $\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.$
C. $\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}.$
D. $\frac{-a}{a^{2}+b^{2}}.$
Câu 31. Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2}-2z+3=0$. Khi đó $\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}$ bằng:
A. $\sqrt{3}$. B. $2\sqrt{3}$. C. $\sqrt{3}-2$. D. $\sqrt{3}+2$.
Câu 32. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 + 5i và N là điểm biểu diễn số phức w = 5 + 3i trên mặt phẳng phức . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.
B. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua đường thẳng y = -x.
C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
D. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành.
Câu 33. Xét tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thoả mãn $\begin{vmatrix} z+1 \end{vmatrix}\leq 1$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. M thuộc đường thẳng.
B. M thuộc đường tròn.
C. M thuộc hình tròn.
D. M thuộc Elip.
Câu 34. Trong số các số phức thoả mãn điều kiện $\begin{vmatrix} z-1-2i \end{vmatrix}=\sqrt{5}$, số phức có môđun lớn nhất là:
A. 2 + 4i. B. 3 + i. C. 6 + 2i. D. 1 + 7i.
Câu 35. Một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là $R\sqrt{3}$. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
A. $S_{xq}=2\sqrt{3} \pi R$
B. $S_{xq}=\sqrt{3} \pi R^{2}$.
C. $S_{xq}=2\sqrt{3} \pi R^{2}$.
D. $S_{xq}=\sqrt{3} \pi R$.
Câu 36. Công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật có diện tích đáy S và chiều cao h là:
A. 2S.h. B. $\frac{1}{3}$S.h. C. $\frac{1}{2}$S.h. D. S.h.
Câu 37. Nếu tăng diện tích đáy của một khối lăng trụ lên ba lần và tăng chiều cao của khối này lên hai lần thì thể tích của khối lăng trụ tăng lên:
A. 6 lần. B. 3 lần. C. 5 lần D. 2 lần.
Câu 38. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên $SC=a\sqrt{3}$, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp trên là:
A. $V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}}{6}a^{3}.$
B. $V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{6}}{6}a^{3}.$
C. $V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}}{12}a^{3}.$
D. $V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{6}}{12}a^{3}.$
Câu 39. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 5 và bán kính đường tròn đáy bằng 3. Thể tích của khối nón là:
A. 12$\pi$.
B. 15$\pi$.
C. 36$\pi$.
D. 16$\pi$.
Câu 40. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên SA $\perp$(ABCD), SA = 3a và AD = 2DC = 2a. Thể tích của khối chóp là:
A. $V_{S.ABCD}=3a^{3}.$
B. $V_{S.ABCD}=a^{3}.$
C. $V_{S.ABCD}=2a^{3}.$
D. $V_{S.ABCD}=6a^{3}.$
Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật có thể tích là 64. Giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật là?
A. 192. B. 24. C. 96. D. 48.
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Biết SA $\perp$ (ABCD), SC tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ với $tan\alpha=\frac{4}{5}$ và AB = 3a, BC = 4a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) là:
A. $\frac{12}{5}a.$
B. $\frac{5}{12}a.$
C. $\frac{\sqrt{5}}{12}a$.
D. $\frac{\sqrt{12}}{5}a$.
Câu 43. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$ = (3;7;0),
$\overrightarrow{b}$ = (2;3;1), $\overrightarrow{c}$ = (3;y;4). Giá trị của y để $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là:
A. y = 2.
B. $y=\frac{1}{3}$.
C. y = 0.
D. y = -1.
Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$. Khi đó toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
A. (2;3;-1). B. (3;2;-1). C. (-2;3;-1). D. (-1;2;3).
Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M (1;3;5). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Oxy, toạ độ của N là:
A. N (0;0;5). B. N (0;3;5). C. N (1;3;0). D. N (0;3;0).
Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}, \overrightarrow{ON}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$ bằng:
A. $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MN} \end{vmatrix}=\sqrt{6}$.
B. $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MN} \end{vmatrix}=\sqrt{10}$.
C. $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MN} \end{vmatrix}=\sqrt{7}$.
D. $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MN} \end{vmatrix}=\sqrt{11}$.
Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm M(1;1;2), N(1; 2; 3), P(2; 0; 1). Toạ độ điểm Q sao cho MNPQ tạo thành một hình chữ nhật là:
A. Q(0;1;3). B. Q(2;-1;2). C. Q(2;-1;0). D. Q(0;3;1).
Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + $\sqrt{2}$y + z - 5 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M và Song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (Q) là:
A. $\frac{2}{3}$.
B. $\frac{2+\sqrt{2}}{2}.$
C. $\frac{3}{4}.$
D. $\frac{2-\sqrt{2}}{2}.$
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CM nhỏ nhất là:
A. $M(\frac{-5}{26};\frac{-46}{26};\frac{-41}{26}).$
B. $M(\frac{-5}{26};\frac{46}{26};\frac{41}{26}).$
C. $M(\frac{5}{26};\frac{-46}{26};\frac{41}{26}).$
D. $M(\frac{5}{26};\frac{46}{26};\frac{41}{26}).$
Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A(2;0;0) và M(1;2;2). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua AM cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;0;0), C(0;0;c) với b > 0, c > 0. Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất bằng:
A. $8\sqrt{2}$.
B. 8.
C. $24\sqrt{2}$.
D. 24.
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ 10
.png)
Hướng dẫn giải
Câu 9. Từ
$f(-2)=-\frac{1}{3}\Rightarrow n=3m-5\Rightarrow f(x)=\frac{x^{2}+(m-1)x+2m-5}{x-1}=x+m+\frac{3m-5}{x-1}$
Ta có: $f'(x)=1-\frac{3m-5}{(x-1)^{2}}$.
Từ giả thiết suy ra $f'(-2)=0\Rightarrow m=\frac{14}{3}$. Vậy n = 9. Kiểm tra lại $f''(-2)<0$. Vậy m + n = $\frac{41}{3}$.
Ta chọn C.
Câu 10. Dựa vào đồ thị, ta có công thức của parabol là y = -x$^{2}$+4.
Khi đó, diện tích cánh cửa là $S=\int_{-2}^{2}(-x^{2}+4)dx=\frac{32}{3}$ (đvdt).
Ta chọn B.
Câu 19. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
$P=3^{x-1}+3^{3-x}=\frac{3^{x}}{3}+\frac{27}{3^{x}}\geq 2\sqrt{\frac{3^{x}}{3}.\frac{27}{3^{x}}}=6$
Câu 20. Đặt t = $2^{x}$ có phương trình $\frac{1}{2}t^{2}-mt+m=0$.
Tích hai nghiệm của phương trình này phải bằng 8. Tìm được m = 4.
Ta chọn D.
Câu 25. Diện tích cần tìm là .png)
Câu 27. Đặt $x=-t\Rightarrow \int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{1}^{-1}f(-t)(-dt)=\int_{-1}^{1}f(-t)dt=\int_{-1}^{1}f(-x)dx$
$\Rightarrow 2\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}[f(x)+f(-x)]dx=\int_{-1}^{1}x^{2}dx=\left.\begin{matrix} \frac{x^{3}}{3} \end{matrix}\right|_{-1}^{1}=\frac{2}{3}\Rightarrow I=\frac{1}{3}.$
Câu 34. Cách 1: Gọi z = x + yi, M(x, y) biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5$ (*).
$\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}$ nhỏ nhất khi OM = OI + R và M, O, I thẳng hàng, trong đó O là gốc tọa độ, I(1; 2), R là bán kính. Từ đó suy ra M (2; 4) $\Rightarrow$ z = 2 + 4i.
Cách 2: Thử tọa độ các điểm M(x, y) biểu diễn cho số phức z vào (*), dễ thấy chỉ có 2 số phức z = 2 + 4i, z = 3 + i biểu diễn bởi điểm M(x, y) thỏa mãn (*). Rõ ràng $\begin{vmatrix} 2+4i \end{vmatrix}>\begin{vmatrix} 3+i \end{vmatrix}$ nên đáp số đúng là z = 2 + 4i.
Câu 41. Cách 1: Gọi x, y, z lần lượt là chiều dài, rộng và cao của hình hộp chữ nhật.
Theo giả thiết xyz = 64. Ta có tổng diện tích các mặt bên là S = 2(xy + yz + zx).
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương suy ra giá trị nhỏ nhất của S bằng 96.
Cách 2 (Dự đoán kết quả): Do tính đối xứng của 3 ẩn x, y, z nên tổng diện tích các mặt bên nhỏ nhất khi x = y = z = 4. Từ đó suy ra tổng diện tích các mặt bên bằng 96.
Câu 50. Phương trình mp (P) có dạng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M \in (P)$ nên
$\frac{1}{2}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=1\Leftrightarrow b+c=\frac{bc}{4}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}$(-2;5;0), $\overrightarrow{AC}$(-2;0;c). Khi đó S = $\sqrt{b^{2}+c^{2}+4(b+c)^{2}}$.
Vì $b^{2}+c^{2}\geq 2bc; (b+c)^{2}\geq 4bc$ nên $S_{ABC}\geq \sqrt{18bc}$.
Mà bc = 4(b+c) $\geq 8\sqrt{bc}\Rightarrow bc\geq 64$. Do đó $S_{ABC}\geq 24\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi b = c = 8.
Vậy: minS = $24\sqrt{2}$ khi b = c = 8.
Nhận xét: Sau khi có công thức $S=\sqrt{b^{2}+c^{2}+4(b+c)^{2}}$ và từ điều kiện $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$,nhận thấy rằng các biểu thức đối xứng theo b, c nên từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của S xảy ra khi b = c $\Rightarrow$ b = c = 8. Tìm được giá trị nhỏ nhất $S=24\sqrt{2}$.