Chuyên đề 3

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3.1. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

3.1.1. Nguyên hàm

3.1.1.1. Định nghĩa 3.1

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng của \[\mathbb{R}\] ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi \[x\in K\].

Tính chất 3.1. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của (x) trên K.

b) Ngược lại, nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Từ tính chất này ta thấy, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với \[C\in \mathbb{R}\]. Vậy F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và được kí hiệu là \[\int{f(x)dx.}\]

Vậy ta có: \[\int{f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.}\]

Chú ý 3.1.

+ \[(\int{f(x)dx})'=f(x);\]

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3.1.1.2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) \[\int{0dx=C,\int{dx=\int{1dx=x+C;}}}\]

2) \[\int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}}+C(\alpha \ne -1);\]

3) \[\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C;}\]

4) \[\int{\operatorname{s}\text{inx}dx=-\cos x+C;}\] \[\int{\operatorname{s}\text{in(kx)}dx=-\frac{\operatorname{cosk}x}{k}+C(k\ne 0);}\]

5) \[\int{\cos \text{x}dx=\operatorname{s}\text{inx}+C;}\int{\cos \text{(kx)}dx=\frac{sinkx}{k}+C(k\ne 0);}\]

6) \[\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C;}\int{{{e}^{kx}}dx=\frac{{{e}^{kx}}}{k}+C(k\ne 0);}\]

8) \[\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\tan x+C;}\]

9) \[\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=-\cot x+C.}\]

3.1.1.3. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Tính chất 3.2. Nếu \[f(x),g(x)\] là hai hàm số liên tục trên K thì

a) \[\int{\text{ }\!\![\!\!\text{ }f(x)\pm g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx;}}}\]

b) Với mọi số thực \[k\ne 0\], ta có \[\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx.\]