3.1.3. Tích phân
3.1.3.1. Khái niệm tích phân
Định nghĩa 3.2. Cho \[f(x)\] là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của \[f(x)\] trên đoạn [a;b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số \[f(x)\], kí hiệu là: \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx.}\]
Ta còn dùng kí hiệu \[\left. F(x) \right|_{a}^{b}\], để chỉ hiệu số F(b) - F(a), vậy ta có:
\[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\left. F(x) \right|_{a}^{b}}=F(b)-F(a)\].
Chú ý 3.3. \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=}\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt=...=\int\limits_{a}^{b}{f(u)du=F(b)-F(a).}}\]
3.1.3.2. Tính chất của tích phân
Tính chất 3.5. Giả sử f, g là các hàm số liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K (a < b < c). Khi đó ta có
1) \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=}0;\]
2) \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=}-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx};\]
3) \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx+}\int\limits_{b}^{c}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx};\]
4) \[\int\limits_{a}^{b}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }f(x)dx\pm g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\pm \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx;}}\]
5) \[\int\limits_{a}^{b}{kf(x)dx=k\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}}\] với \[k\in \mathbb{R}*.\]