Ví dụ 1.5. (Câu 3, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Hỏi hàm số \[y=2{{x}^{4}}+1\] đồng biến trên khoảng nào?
A. \[(-\infty ;-\frac{1}{2})\].
B. \[(0;+\infty )\]
C. \[(-\frac{1}{2};+\infty )\]
D. \[(-\infty ;0)\]
Hướng dẫn giải
Ta có \[y'=8{{x}^{3}}>0\Leftrightarrow x>0\] do đó hàm số đồng biến trên \[(0;+\infty )\]. Do đó ta chọn phương án B.
Chú ý: Với bài toán trên, ta có thể sử dụng máy tính CASIO fx 570 ES PLUS để kiểm tra kết quả như sau:
Ta ấn SHIFT \[\frac{d}{dx}\] ... (đây chính là tính đạo hàm của hàm số tại một điểm nào đó).
Sau đó ta nhập \[{{\left. \frac{d}{dx}(2{{x}^{4}}+1) \right|}_{x=}}\] chỗ giá trị x=... ta thay một vài giá trị trong các khoảng phương án đã cho. Nếu thấy xuất hiện giá trị âm thì phương án đó không thoả mãn và ta loại luôn phương án này.
Ví dụ ta có thể thử \[{{\left. \frac{d}{dx}(2{{x}^{4}}+1) \right|}_{x=-1}}=-8<0\] nên ta loại hai phương án A, D (vì trong khoảng của phương án A và D có chứa x = -1).
Ta lại thử tiếp \[{{\left. \frac{d}{dx}(2{{x}^{4}}+1) \right|}_{x=-\frac{1}{3}}}=-0,2962<0\], ta loại phương án C.
Vậy phương án đúng là phương án B.
Ví dụ 1.6. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên \[(-\infty ;+\infty )\]?
A. \[y=5x+2\cos 2x\].
B. \[y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x\].
C. \[y=\tan x\].
D. \[y=\frac{x-1}{x+1}.\]
Hướng dẫn giải
Trước hết để hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] thì điều kiện cần là hàm số phải xác định với mọi \[x\in \mathbb{R}\]. Từ đó ta loại được phương án C, D.
Còn lại phương án A, B. Xét B: Có \[y'=3{{x}^{2}}+2x-2=0\] có hai nghiệm phân biệt nên y' đổi đấu. Từ đó suy ra phương án A là phương án đúng.
Ví dụ 1.7. (Câu 11, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \[y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}\] đồng biến trên khoảng \[(0;\frac{\pi }{4})\].
A. \[m\le 0\] hoặc \[1\le m\le 2.\]
B. \[m\le 0\].
C. \[1\le m<2.\]
D. \[m\ge 2.\]
Hướng dẫn giải
Để hàm số đồng biến trên khoảng \[(0;\frac{\pi }{4})\] thì \[y'\ge 0\] \[\forall x\in (0;\frac{\pi }{4}).\]
Suy ra $\left\{\begin{matrix} 2-m\geqslant 0 & \\ m\notin (0;1) & \end{matrix}\right.$ \[\Rightarrow m\in (-\infty ;0]\cup [1;2).\]
Do đó ta chọn phương án A.
Với phương án D, ta chọn m = 2, khi đó hàm số trở thành y=1 không đồng biến trên \[(0;\frac{\pi }{4})\] nên ta loại bỏ phương án D.
Ta sử dụng máy tính ấn SHIFT \[\frac{d}{dx}\]… .Sau đó ta nhập \[\frac{d}{dx}{{\left. \left( \frac{\tan X-2}{\tan X-Y} \right) \right|}_{x=X}}\] với giá trị \[X\in (0;\frac{\pi }{4})\] và Y là giá trị của tham số m . Sau đó ấn CALC máy hiện lên X? Ta sẽ chọn một giá trị của \[x\in (0;\frac{\pi }{4})\], chẳng hạn \[X=\frac{\pi }{8}\] sau đó ấn =, máy hiện Y? ta chọn một vài giá trị của Y trong các phương án A, B, C.
Sau đó sẽ cho ra kết quả là phương án A.