Công thức tính nguyên hàm từng phần (3.2) cho phép ta chuyển việc tính nguyên hàm của hàm u(x) về tính nguyên hàm của hàm u'(x). Do đó, trong những tình huống mà hàm dưới dấu tích phân liên quan đến hàm u(x) phức tạp (hay khó) nhưng đạo hàm của nó u'(x) đơn giản hơn (hay dễ hơn) thì ta có thể nghĩ đến việc sử dụng công thức này.
Ví dụ 3.6. Nguyên hàm của hàm \[f(x)={{x}^{3}}\ln x\] là:
A. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x-\frac{{{x}^{4}}}{16}+{{C}^{2}}.\]
B. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x+\frac{{{x}^{4}}}{16}+{{C}^{3}}.\]
C. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x+\frac{{{x}^{4}}}{16}+C.\]
D. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x-\frac{{{x}^{4}}}{16}+{{C}^{3}}.\]
Hướng dẫn giải
Ta thấy hàm cần tìm nguyên hàm \[f(x)={{x}^{3}}\ln x\] có chứa hàm u = \[\ln x\] là hàm "khó", nhưng đạo hàm của nó \[u'=\frac{1}{x}\] là hàm dễ tính hơn.
Vì vậy ta đặt $\left\{\begin{matrix} u=lnx & \\ dv=x^3dx & \end{matrix}\right.$, từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{x}dx & \\ v=\frac{x^4}{4} & \end{matrix}\right.$
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được
\[\int{{{x}^{3}}\ln xdx=\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{4}dx=}}\frac{{{x}^{4}}}{4}\ln x-\frac{{{x}^{4}}}{16}+D.\]
Ở đó D là hằng số (thực) tuỳ ý nên ta có thể viết .png)
với \[C\in \mathbb{R}\]. Vậy ta chọn đáp án D.
Tổng quát, với bài toán tìm nguyên hàm dạng:
\[\int{P(x).\ln Q(x)dx,}\]
ta có thể áp dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt:
$\left\{\begin{matrix} u=lnQ(x) & \\ dv=P(x)dx & \end{matrix}\right.$
Chú ý: Công thức \[\int{f(x)dx=F(x)+C}\] (với C là hằng số tùy ý) có thể được viết dưới dạng \[\int{f(x)dx=F(x)-C}\] hay \[{{\int{f(x)dx=F(x)+C}}^{3}}.\]
Nhận xét: Bài toán ở ví dụ này có thể xếp vào cấp độ "vận dụng thấp". Ta có thể lấy đạo hàm hàm vế phải trong các phương án đã cho để tìm phương án đúng hoặc sử dụng máy tính cầm tay để đi đến kết quả là D.
Ví dụ 3.7. Nguyên hàm của hàm f(x)=xsin2x là:
A. \[-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+{{C}^{2}}.\]
B. \[-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x-{{C}^{3}}.\]
C. \[-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+21.\]
D. \[\frac{x}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}\sin 2x+C.\]
Hướng dẫn giải
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x & \\ dv=sin2xdx & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx & \\ v=-\frac{1}{2}cos2x & \end{matrix}\right.$
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được.
\[I=\int{x\sin 2xdx=-\frac{x}{2}}\cos 2x+\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}}\sin 2x+D.\]
Vì \[D\in \mathbb{R}\] là hằng số tuỳ ý nên ta có thể viết .png)
với \[C\in \mathbb{R}\]. Vậy ta chọn đáp án B.
Tương tự như trên, với bài toán tìm nguyên hàm dạng:
\[\int{P(x).(\sin ax,\cos ax,{{e}^{ax}})dx,}\] $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=P'(x)dx & \\ v=-\frac{1}{a}cosax(\frac{1}{a}sinax,\frac{1}{a}e^{ax}) & \end{matrix}\right.$
ta cũng có thể áp dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt:
$\left\{\begin{matrix} u=P(x) & \\ dv=(sinax,cosax,e^a)dx & \end{matrix}\right.$
Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 3.6, ta có thể đạo hàm hàm vế phải trong các phương án đã cho để tìm phương án đúng hoặc sử dụng máy tính cầm tay để đi đến kết quả là phương án B.