4.2. NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phương pháp. Viết số phức z dưới dạng z = a + bi. Khi đó, phần thực của z là a, phần ảo của z là b và \[\overline{z}=a-bi.\]
Ví dụ 4.1. (Câu 29, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \[\overline{z}\].
A. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2i.
B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.
Hướng dẫn giải
Vì phần thực và phần ảo của một số phức là một số thực nên ta loại phương án A và C.
Ta có phần thực của z bằng phần thực của \[\overline{z}\], Phần ảo của \[\overline{z}\] bằng số đối của phần ảo của z (khác dấu với phần ảo của z), nên ta loại phương án B. Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Để làm được bài toán này học sinh chỉ cần nhớ khái niệm cơ bản về phần ảo của một số phức và số phức liên hợp, do đó đây là một câu hỏi được xếp vào loại nhận biết.
Ví dụ 4.2. Số phức nào trong các phương án sau là số thực?
A. \[{{z}_{1}}={{(3+i)}^{3}}-{{(2-i)}^{3}}.\]
B. \[{{z}_{2}}=\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}-\frac{\sqrt{2}-i}{i}.\]
C. \[{{z}_{3}}=\frac{1}{2i}({{i}^{9}}-\frac{1}{{{i}^{9}}}).\]
D. \[{{z}_{4}}={{(\frac{1+i}{1-i})}^{21}}+{{(1-i)}^{9}}+(3+2i)(3-2i)+\frac{1}{i}.\]
Hướng dẫn giải
Ta có
\[{{z}_{1}}={{(3+i)}^{3}}-{{(2-i)}^{3}}=27+27i-9-i-8+12i+6-i=16+37i.\]
Vậy phần thực của số \[{{z}_{1}}\] là 16, phần ảo của \[{{z}_{1}}\] là 37.
\[{{z}_{2}}=\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}-\frac{\sqrt{2}-i}{i}=\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{2}-\frac{(\sqrt{2}-i)i}{-1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}+\frac{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}i.\]
\[{{z}_{3}}=\frac{1}{2i}({{i}^{9}}-\frac{1}{{{i}^{9}}})=\frac{1}{2}({{i}^{8}}-\frac{1}{{{i}^{10}}})=\frac{1}{2}[{{({{i}^{2}})}^{4}}-{{\left( \frac{1}{{{i}^{2}}} \right)}^{5}}]=1.\]
\[{{z}_{4}}={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{21}}+{{(1-i)}^{9}}+(3+2i)(3-2i)+\frac{1}{i}\]
\[={{\left( \frac{{{(1+i)}^{2}}}{2} \right)}^{21}}+{{[{{(1-i)}^{2}}]}^{4}}(1-i)+{{3}^{2}}-{{(2i)}^{2}}+\frac{i}{{{i}^{2}}}\]
\[={{(\frac{1+2i-1}{2})}^{21}}+{{[1-2i-1]}^{4}}(1-i)+9+4-i\]
= \[{{(i)}^{21}}+{{2}^{4}}(1-i)+9+4-i\]
= i + 16 – 16i + 13 – i = 29 – 16i.
Vậy ta chọn phương án C.
Chú ý 4.9.
-Với cách làm theo kiểu "tự luận" như trên, ta tính toán đến khi gặp kết quả đúng (chẳng hạn tính đến \[{{z}_{3}}\]) thì dừng và chọn ngay phương án C.
- Với bài toán trên ta có thể sử dụng máy tính cầm tay (chẳng hạn CASIO fx-570VN PLUS) để rút gọn và dễ dàng tìm ra phương án C là đáp số đúng của bài toán.
Ví dụ 4.3. Cho n là số tự nhiên chia hết cho 4. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \[{{i}^{n}}+1=0.\]
B. \[{{i}^{n+1}}+1=0.\]
C. \[{{i}^{n+2}}+1=0.\]
D. \[{{i}^{n+3}}+1=0.\]
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Nếu làm theo cách 1 đòi hỏi học sinh phải biết cách xử lý khéo số mũ của i mới tìm được phương án đúng, do đó câu hỏi này có thể xếp vào loại vận dụng. Tuy nhiên, với cách tiếp cận thứ hai, đặc biệt hóa, chúng ta đi đến đáp số một cách dễ dàng, do đó câu hỏi này có thể xếp vào loại thông hiểu.