• Dạng 8. Tính quãng đường đi được của một vật

    • Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(t). Khi đó quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là:

    \[L=\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt}.\]

    Ví dụ 3.21. (Câu 24, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)= -5t+10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô con di chuyển bao nhiêu mét?

    A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D, 20m.

    Hướng dẫn giải

    Lấy mốc thời gian là lúc ôtô bắt đầu được phanh. Gọi T là thời điểm ôtô dừng. Ta có v(T) = 0 suy ra 5T = 10 hay T = 2. Như vậy, khoảng thời gian từ lúc ôtô bắt đầu đạp phanh (t = 0) đến khi dừng hẳn t = 2 là 2 giây. Quãng đường ôtô đi được trong khoảng thời gian trên là:

    \[L=\int\limits_{0}^{2}{(-5t+10)dt}=\left. (-\frac{5{{t}^{2}}}{2}+10t) \right|_{0}^{2}=10\] (m)

    Vậy ta chọn C.

    Nhận xét: Để giải bài toán thuộc loại này, học sinh cần xác định được thời điểm đầu và thời điểm cuối của quá trình chuyển động của vật ứng với quãng đường mà ta cần tính. Xác định được vận tốc chuyển động của vật theo thời gian từ đó viết được công thức biểu diễn quãng đường đi được của vật qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để rút ngắn thời gian tính toán. Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào loại “vận dụng".

    Ví dụ 3.22. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:

    A. 11100 (m)

    B. 10100 (m).

    C. 12000 (m).

    D. 11000 (m).

    Hướng dẫn giải

    Lấy mốc thời gian là lúc vật bắt đầu tăng tốc. Gọi v(t) là vận tốc của vật ở thời điểm t. Ta có v(0) = 10 và nên

    \[v(t)=v(0)+\int\limits_{0}^{t}{a(u)du=}10+\int\limits_{0}^{t}{(6u+12{{u}^{2}})du}=10+3{{t}^{2}}+4{{t}^{3}}\] (m/s)

    Quãng đường mà vật đó đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

    \[L=\int\limits_{0}^{10}{v(t)dt=\int\limits_{0}^{10}{(10+3{{t}^{2}}+4{{t}^{3}})dt}}=\left. (10t+{{t}^{3}}+{{t}^{4}}) \right|_{0}^{10}=11100\] (m).

    Vậy ta chọn A.

    Nhận xét: Cũng giống như Ví dụ 3.21, ở ví dụ này, học sinh cần viết được công thức biểu diễn quãng đường đi được của vật qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để rút ngắn thời gian tính toán. Câu hỏi thuộc loại này có thể được xếp vào loại "vận dụng".