1.1.3. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
1.1.3.1. Định nghĩa 1.1.
Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên tập D.
Số \[M=\underset{D}{\mathop{Max}}\,f(x)\] nếu \[\forall x\in D,f(x)\le M\] và tồn tại \[{{x}_{0}}\in D\] sao cho \[f({{x}_{0}})=M\].
Số \[m=\underset{D}{\mathop{\min }}\,f(x)\] nếu \[\forall x\in D,f(x)\ge m\] và tồn tại \[{{x}_{0}}\in D\] sao cho \[f({{x}_{0}})=m\].
1.1.3.2. Cách tìm GTLN, GTNN
Giả sử hàm số \[f(x)\] liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu \[f(x')=0\] chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì có thể tìm GTLN, GTNN của hàm số \[f(x)\] trên [a;b] theo các bước sau:
Bước 1. Tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\] thuộc (a;b) mà tại đó hàm số \[f(x)\] không có đạo hàm hoặc đạo hàm bằng 0;
Bước 2, Tính \[f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b);\]
Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
\[M=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{Max}}\,f(x),m=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x).\]