4.1.2. Phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia số phức
4.1.2.1. Phép cộng và phép trừ
Định nghĩa 4.5. Tổng của hai số phức \[z=a+bi,z=a'+b'i(a,b,a',b'\in \mathbb{R})\] là số phức \[z+z'=a+a'+(b+b')i;\]
Hiệu của hai số phức \[z=a+bi,z=a'+b'i,(a,b,a',b'\in \mathbb{R})\] là số phức
\[z-z'=a-a'+(b-b')i;\]
Chú ý 4.5: Với mỗi số phức \[z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\], số phức \[-z=-a-bi\] được gọi là số đối của số phức z.
4.1.2.2. Phép nhân
Định nghĩa 4.6. Tích của hai số phức \[z=a+bi\] và \[z'=a'+b'i\] với \[a,b,a',b'\in \mathbb{R}\] là số phức \[zz'=aa'-bb'+(ab'+a'b)i.\]
Chú ý 4.6.
– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \[{{i}^{2}}=-1\] trong kết quả nhận được.
- Với mọi số phức z ta có Oz = 0, 1z = z.
- Với số phức z = a + bi ta có \[z+\overline{z}=2a,z.\overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\].Vậy tổng và tích của số phức với số phức liên hợp của nó là một số thực.
4.1.2.3. Phép chia số phức
Định nghĩa 4.7. Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số \[{{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}.\]
Thương \[\frac{{{z}^{'}}}{z}\] của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0 là tích của z' với số phức nghịch đảo của z, tức là \[\frac{{{z}^{'}}}{z}=z'{{z}^{-1}}\].
Như vậy, nếu \[z\ne 0\] thì \[\frac{{{z}^{'}}}{z}=\frac{z'\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\]
Chú ý 4.7.
Nếu \[z=a+bi\](\[z\ne 0\]) thì \[{{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}=\frac{a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i.\]
Nếu \[z'=a'+b'i\] thì \[\frac{{{z}^{'}}}{z}=\frac{a'+b'i}{a+bi}=\frac{z'\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{z'\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{aa'+bb'}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ab'-ba'}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i\].
Do đó, để tính \[\frac{a'+b'i}{a+bi}\] ta có thể nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp \[\overline{z}\] của z.