Ví dụ 3.17. Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ \[x(-1\le x\le 1)\] là hình vuông có cạnh là \[2\sqrt{1-x}\], bằng:
A. 5 (đvtt). B. 6 (đvtt). C. 7 (đvtt). D. 8 (đvtt).
Hướng dẫn giải
Vì thiết diện là hình vuông cạnh \[2\sqrt{1-x}\] nên diện tích S(x) của thiết diện là:
\[S(x)={{(2\sqrt{1-x})}^{2}}=4(1-x).\]
Do đó, thể tích của vật thể là:
\[V=\int\limits_{-1}^{1}{4(1-x)dx=\left. -2{{(1-x)}^{2}} \right|_{-1}^{1}=8}\] (đvtt)
Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Đối với các câu hỏi tính thể tích của vật thể, học sinh cần xác định rõ phần vật thể cần tính thể tích nằm giữa hai mặt phẳng nào và diện tích của thiết diện thu được khi cắt vật thể từ đó viết được công thức tính thể tích qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài.
Ví dụ 3.18. Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x \[\left( 0\le x\le 3 \right)\] là chữ nhật có hai kích thước là 6x và \[\sqrt{9-{{x}^{2}}}\] , bằng:
A. 53 (đvtt). B. 54 (đvtt). C. 55 (đvtt). D. 56 (đvtt):
Hướng dẫn giải
Vì thiết diện là hình chữ nhật có hai kích thước là 6x và \[\sqrt{9-{{x}^{2}}}\] nên diện tích S(x) của thiết diện là:
\[S(x)=6x\sqrt{9-{{x}^{2}}}\]
Vậy thể tích của vật thể là:
\[V=\int\limits_{0}^{3}{6x\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx=\left. -2{{(9-{{x}^{2}})}^{\frac{3}{2}}} \right|_{0}^{3}}=54\] (đvtt).
Vậy ta chọn B.
Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 3.17, ở ví dụ này học sinh cần xác định rõ phần vật thể cần tính thể tích nằm giữa hai mặt phẳng nào và diện tích của thiết diện thu được khi cắt vật thể, từ đó viết được công thức tính thể tích qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài. Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào loại "vận dụng".
Ví dụ 3.19. Thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y={{e}^{x}}-1\], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 xung quanh trục hoành, là
A. \[1,57{{e}^{4}}-6,24{{e}^{2}}+11.\]
B. 50,3313.
C. \[\pi (\frac{{{e}^{4}}}{2}-2{{e}^{2}}+\frac{7}{2}).\]
D. \[16\pi \].
Hướng dẫn giải
Ta có trục tung có phương trình là: x = 0, nên thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là
\[V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{({{e}^{x}}-1)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{2}{({{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}+1)dx}\]
\[=\left. \pi (\frac{{{e}^{2x}}}{2}-2{{e}^{x}}+x) \right|_{0}^{2}=\pi \left( \frac{{{e}^{4}}}{2}-2{{e}^{2}}+\frac{7}{2} \right).\]
Vậy ta chọn C.
Nhận xét: Để tính thể tích của vật thể tròn xoay, học sinh cần xác định rõ vật thể tròn xoay thu được khi quay đồ thị của hàm số nào? trên đoạn nào? quay quanh trục hoành hay trục tung, từ đó viết được công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài. Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào loại “vận dụng", kết quả của phép tính thể tích của vật thể tròn xoay thường chứa số \[\pi \].
Ví dụ 3.20. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: x = sin y, x = 0, y = 0 và \[y=\frac{\pi }{2}\]. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Oy là:
A.\[\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\].
B. 2,4649.
C. \[\frac{3\pi }{4}\].
D. \[\frac{5{{\pi }^{2}}}{21}\].
Huớng dẫn giải Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là:
\[V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}ydy}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1-\cos 2y}{2}dy}=\left. \pi \left( \frac{y}{2}-\frac{\sin 2y}{4} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\] (đvtt)
Vậy ta chọn A.
Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 3.19, học sinh cần viết được chính xác công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay qua tích phân. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài. Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào loại "vận dụng", kết quả của phép tính thể tích của vật thể tròn xoay thường chứa số .png)
Ví dụ 3.21. (Câu 28, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=2(x-1){{e}^{x}}\], trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
A. V = 4 – 2e.
B. V = (4 – 2e)\[\pi \]
C. V = e2 – 5.
D. V = (e2 – 5)\[\pi \].
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2(x-1){{e}^{x}}\] và trục hoành là:
\[2(x-1){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.\]
Trục tung có phương trình là: x = 0, nên thể tích của khối tròn xoay cần tìm là:
\[V=\pi \int\limits_{0}^{1}{4{{(x-1)}^{2}}}{{e}^{2x}}dx=2\pi \int\limits_{0}^{1}{{{(x-1)}^{2}}}d{{e}^{2x}}=\left. 2\pi {{(x-1)}^{2}}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}-4\pi \int\limits_{0}^{1}{(x-1){{e}^{2x}}dx}\]
\[=-2\pi -2\pi \int\limits_{0}^{1}{(x-1)d{{e}^{2x}}}=\left. -2\pi -2\pi (x-1){{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}+2\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}\]
\[=-2\pi -2\pi +\left. \pi {{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}=\pi \left( {{e}^{2}}-5 \right)\].
Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Từ công thức tính thể tích của khối tròn xoay ta thấy thể tích của nó thường có đặc điểm là chứa số \[\pi \] và chứa đại lượng bình phương. Nếu không có đủ thời gian tính toán cụ thể, ta nên ưu tiên lựa chọn những phương án có các đặc điểm này. Chẳng hạn với ví dụ ở trên sau khi viết được công thức tính thể tích: \[V=\pi \int\limits_{0}^{1}{4{{(x-1)}^{2}}}{{e}^{2x}}dx\] mà ta không có đủ thời gian tính toán, quan sát các phương án A, B, C, D ta thấy: Phương án A và C không chứa số \[\pi \], phương án A và B không chứa đại lượng bình phương: .png)
.
Vậy ta chọn D.