3.1.5. Ứng dụng của tích phân
3.1.5.1. Tính diện tích hình phẳng
- Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f(x)\], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) được tính bởi công thức
\[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|}dx\] (3.5)
Nếu hai hàm số \[y=f(x)\] và y= g(x) liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f(x)\], đồ thị hàm số y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bởi công thức
\[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|}dx\] (3.6)
3.1.5.2. Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian toạ độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b (a < b)
Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\[a\le x\le b\]).
Giả sử S = S(x) là hàm số liên tục trên [a;b]. Khi đó thể tích của vật thể B được tính bởi công thức
\[V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}\] (3.7)
Thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f(x)\], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được tính theo công thức
\[V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}\] (3.8)