6.1.2. Tích vô hướng và tích có hướng
Cho \[\overrightarrow{u}=(x;y;z)\] và \[\overrightarrow{v}=(x';y';z')\].
Tích vô hướng của \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là số: \[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'.\]
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow{u}\], xác định bởi \[\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\].
Tích có hướng của \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là vectơ:
\[\text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u}\text{,}\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=\]$(\begin{vmatrix} y & z\\ y' & z' \end{vmatrix};\begin{vmatrix} z & x\\ z' & x' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} x & y\\ x' & y' \end{vmatrix}).$
Vectơ \[\text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u}\text{,}\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\] vuông góc với cả \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\].
- Một số tính chất: \[\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0;\]
\[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] cùng phương \[\Leftrightarrow \text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u}\text{,}\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ =}\overrightarrow{0};\]
\[\overrightarrow{u}\], \[\overrightarrow{v}\], \[\overrightarrow{\text{w}}\] đồng phẳng \[\Leftrightarrow \text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u}\text{,}\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}\overrightarrow{\text{w}}\text{=0}\text{.}\]
Diện tích hình bình hành: \[{{S}_{ABCD}}=\left| \text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{AB}\text{,}\overrightarrow{AD}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \right|.\]
Thể tích hình hộp: \[{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\left| \text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}\overrightarrow{AA'} \right|.\]