1.1.2. Cực trị của hàm số
Tính chất 1.2. Nếu hàm số \[f(x)\] xác định trên \[(a;b)\], đạt cực trị tại \[{{x}_{0}}\in (a;b)\] và có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì \[f'({{x}_{0}})=0\].
Tính chất 1.3. Giả sử hàm số \[f(x)\] liên tục trên \[(a;b)\]. Khi đó:
Nếu \[f'({{x}_{0}})>0\], \[\forall x\in (a;{{x}_{0}})\] và \[f'({{x}_{0}})<0\], \[\forall x\in ({{x}_{0}};b)\] thì \[{{x}_{0}}\] là điểm cực đại của \[f(x)\];
Nếu\[f'({{x}_{0}})>0\], \[\forall x\in (a;b)\] và \[f'({{x}_{0}})>0\], \[\forall x\in ({{x}_{0}};b)\] thì đó là điểm cực tiểu của \[f(x)\].
Nói một cách khác,
Nếu \[f'(x)\] đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm \[{{x}_{0}}\] (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \[{{x}_{0}}\].
Nếu \[f'(x)\] đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm \[{{x}_{0}}\] (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[{{x}_{0}}\].
Quy tắc tìm cực trị của hàm số \[y=f(x)\].
Quy tắc 1.
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính \[f'(x)\], tìm các điểm \[{{x}_{i}}\](i=1,2,...) thuộc tập xác định mà tại đó \[f'(x)\] bằng 0 hoặc \[f'(x)\] không xác định.
Bước 3. Xét dấu \[f'(x)\], từ đó có kết luận về cực trị theo tính chất 1.3 ở trên.
Tính chất 1.4. Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a;b) và \[f'(x)=0\] với \[{{x}_{0}}\in (a;b)\]. Khi đó:
Nếu \[f''({{x}_{0}})>0\] thì \[{{x}_{0}}\] là điểm cực tiểu của f(x);
Nếu \[f''({{x}_{0}})<0\] thì \[{{x}_{0}}\] là điểm cực đại của f(x).
Quy tắc tìm cực trị của hàm số \[y=f(x)\].
Quy tắc 2.
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính \[y=f'(x)\], tìm các điểm \[{{x}_{i}}\](i =1,2,...) thuộc tập xác định mà tại đó \[f'(x)\] bằng 0 hoặc \[f'(x)\] không xác định.
Bước 3. Tim \[f''(x)\] và tính \[f''(x)\].
Nếu \[f''({{x}_{1}})<0\] thì hàm số đạt cực đại tại điểm \[{{x}_{1}}\].
Nếu \[f''({{x}_{1}})>0\] thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[{{x}_{1}}\].